Садржај

• Кораци
• Савети
• Упозорења

Пре него што је калкулатор стигао, и ученици и наставници морали су ручно да израчунају квадратне корене. Неколико метода је еволуирало да би се боље решило овог застрашујућег процеса, неке доносе приближне вредности, а друге тачније вредности. Да бисте сазнали како ручно израчунати квадратни корен помоћу једноставних операција, прочитајте Корак 1 да почне.

Кораци

Метод 1 од 2: Коришћење факторизације

1. 

   Поделите број са савршеним квадратним факторима. Ова метода користи факторе броја за израчунавање квадратног корена (у зависности од вредности, то може бити тачан или процењен одговор). ти Фактори броја су било који скуп других који се множе да би га постигли. Можете рећи, на пример, који су фактори и зашто. Савршени квадрати су, пак, цели бројеви који су резултат множења између осталих целих бројева. Вредности су, на пример, савршени квадратићи јер их могу представљати и, респективно. Савршени квадратни фактори, као што можете претпоставити, такође су савршени квадрати. Да бисте започели са проналажењем квадратног корена помоћу просте факторизације, смањите вредности на савршени квадратни фактор.
   • У једном примеру ћете морати да израчунате квадратни корен руке. За почетак само поделите вредност на своје савршене квадратне факторе. Будући да је вишеструки од, још увек је познато да је дељив са - савршеним квадратом. Брза ментална подела учиниће да видите да одговара времену, што је случајно и савршен квадрат. Стога, савршени квадратни фактори биће и зашто.
   • Прва фаза вежбе биће написана као:

2. 

   
   
   Израчунајте квадратне корене савршених квадратних фактора. Својство производа квадратног корена наводи да, за било које вредности и податке ,. Због овога је сада могуће извући квадратне корене фактора и помножити их да би се дошло до одговора.
   • У дотичном примеру, квадратни корени и биће извучени на следећи начин:

3. 

   
   
   Смањите резултујућу вредност на најједноставније термине ако није могуће то савршено рачунати. У пракси, бројеви вероватно неће бити савршени и тачни са факторима који су такође савршени квадрати (попут). У таквим случајевима можда неће бити могуће добити тачан цео одговор. Уместо тога, одређивањем фактора који могу бити савршени квадрати, можете израчунати одговор на основу мањег, једноставнијег и лакшег квадратног корена. Само смањите број на комбинацију фактора који су савршени квадрати са другима који то нису. Затим поједноставите резултат.
   • Претпоставимо да се квадратни корен користи као пример. Овај број није умножак два савршена квадрата, па није могуће доћи до целобројне вредности као у претходном случају. Међутим, то је производ између савршеног квадрата и другог броја - е. Ови подаци ће се користити за најједноставније тражење одговора на следећи начин:

4. 

   
   
   Ако је потребно, направите процене. Са квадратним кореном у најједноставнијим терминима, једноставније је проценити нумерички одзив одређивањем вредности преосталих квадратних корена и множењем одговарајућих вредности. Један од начина да се водите кроз ове процене је проналажење савршених квадрата поред броја у квадратном корену. Знаћете да ће децимална места тог броја бити између ове две вредности, па ће стога бити лакше одредити шта постоји између њих.
   • Враћајући се на пример и као е, можете видети да је између е - и вероватно ближи већем броју. При процени ћете то пронаћи. Само проверите рад помоћу калкулатора и приметићете да сте се приближили тачном одговору ().
     • Ово такође ради у већем броју. На пример, могуће је проценити да је између и (вероватно ближе већем броју). Ако је е и између обе вредности, вероватно је да је и квадратни корен између и. Узимајући у обзир да је то мали корак, можете са сигурношћу тврдити да је ваш квадратни корен ускоро испод вредности. Када изводите прорачун на калкулатору, долази се до резултата - претпоставка је била тачна.

5. 

   Прво смањите број на свој заједнички вишеструки минимуми. Није неопходно пронаћи факторе који су савршени квадрати ако сте у стању да одредите просте факторе броја (то су уједно и прости бројеви). Напишите вредност о којој је реч на основу заједничког минимума вишекратника. Затим потражите парове простих бројева који се међусобно подударају. Када пронађете две опције које испуњавају ове захтеве, извадите их из квадратног корена и поставите а њих напољу.
   • Као пример, овом методом покушајте да пронађете квадратни корен од. Зна се то и то. Због тога је квадратни корен могуће написати у смислу његових фактора :. Само узмите двоје присутних у корену и ставите једног од њих споља да бисте дошли до најједноставнијих израза :. Одавде је лако проценити.
   • Као последњи пример, покушајте да израчунате квадратни корен из:
     • 
       Овде постоји неколико вредности унутар квадратног корена - пошто је то прост број, само узмите један од парова и поставите једну од јединица споља.
     • Као резултат, квадратни корен у најједноставнијим терминима биће или. Одавде можете проценити вредности и ако желите.

Метод 2 од 2: Ручно израчунавање квадратних корена

1. 

   Прво раздвојите размаке од броја у паровима. Ова метода користи процес сличан дугој подели за израчунавање квадратног корена тачно, по једна кућа. Иако није пресудно, можда ћете открити да је поступак лакши када се организује визуелно и ако је број подељен на делове. Прво што треба да урадите је да нацртате вертикалну линију која раздваја радно подручје на два региона, а затим направите мању хоризонталну линију у горњем десном углу како бисте имали мали одељак на врху, а велики доле. Сада одвојите размаке од броја у паровима, почевши са зарезом: следећи ово правило, на пример, постаје. Запишите вредност на врху левог размака.
   • У једном примеру покушајте да израчунате квадратни корен од. Направите две линије како бисте поделили радно подручје као у претходном случају и упишите у горњи део левог простора, и не брините ако је уместо пара лево само један број. Одговор () морате написати у горњем десном углу.

2. 

   Откријте који је највећи цео број чији је квадрат мањи или једнак броју (или пару бројева) лево. Почните од крајњег левог дела броја, било да је реч о пару или изолованој вредности. Одредите који је највећи савршени квадрат који је мањи или једнак том броју и узмите његов квадратни корен: ова вредност је представљена са. Запишите га у горњи десни простор, а свој квадрат упишите у доњи десни квадрант.
   • У примеру, крајњи леви део је број. Као што је то познато, могуће је то тврдити, јер је то највећа целобројна вредност чији је квадрат мањи или једнак. Напишите у горњи квадрант - ово ће бити први квадрат резултата. Затим запишите (квадрат) у доњи десни квадрант - ова вредност ће бити важна за следећи корак.

3. 

   Одузми ново израчунати број пара на левој страни. Као и код дуге поделе, следећи корак је одузимање пронађеног квадрата од дела који је управо проучаван. Запишите ову вредност под први део и извршите одговарајуће одузимање, дописујући одговор испод.
   • У примеру, један ће бити постављен испод оног да би се извршило одузимање. Одговор овде биће једнак.

4. 

   Идите до следећег пара. Померите следећи део броја студије надоле и поред одузете вредности коју сте управо пронашли. Затим помножите вредност у горњем десном углу и напишите одговор у доњи десни квадрант. Сада само одвојите простор за проблем множења у следећем кораку :.
   • У примеру је следећи доступан пар. само га погледајте близу доњег левог квадранта. Затим помножите вредност са и добијете је, тако да. Напишите у доњем десном углу, а затим следи.

5. 

   Испуните празна поља у десном квадранту. Сваки од њих сада ће имати исти цео број. Мора бити највећи који омогућава да резултат множења с десне стране буде мањи или једнак броју који је сада присутан на левој страни.
   • У примеру попуњавање празних места резултатом :. Ово је вредност већа од. На тај начин је превелик, али вероватно хоће. Упишите у празна поља и наставите :. Потврђује се да удовољава потреби, јер тада број упишите у горњи десни квадрант.Ово је други квадрат у квадратном корену од.

6. 

   Одузмите израчунату вредност од броја који је сада на левој страни. Наставите са одузимањем у истом стилу као и дуга подела. Узмите резултат задатка множења у десни квадрант и одузмите га од вредности која је сада на левој страни, постављајући свој одговор одмах испод.
   • У примеру ће се одузети, што ће резултирати.

7. 

   Поновите 4. корак. Померите се надоле до следећег дела броја чији се квадратни корен израчунава. Када дођете до зареза, у одговор у горњи десни квадрант упишите децималу. Затим помножите вредност у горњем десном углу и напишите операцију белом () као и раније.
   • У примеру, како се зарез сада достиже, напишите га одмах након тренутног одговора у горњем десном углу. Затим се померите надоле у ​​следећи пар () у левом квадранту. Множењем са вредношћу у горњем десном углу () добићете - упишите у доњи десни квадрант.

8. 

   Поновите кораке 5 и 6. Пронађите највећу децималну вредност која може попунити празна места која дају резултат мањи или једнак броју тренутно на левој страни. Онда само пређите на проблем.
   • У примеру ,, који је мањи или једнак броју лево (). Посматрајући то, што је превисоко, долазите до закључка да је то одговор који тражите. Напиши га као следећу децималу у горњем десном квадранту и одузми резултат множења броја лево :.

9. 

   Наставите са израчунавањем децималних места. Спустите пар нула улево и поновите Кораци 4, 5 и 6. Да бисте постигли још већу прецизност, наставите да понављате поступак све док у одговору не пронађете стоти, хиљадити и тако даље. Само наставите у овом циклусу док не добијете резултат на жељеној децимали.

Разумевање процеса

1. 

   Дефинишите број чији ће се квадратни корен израчунати као површина квадрата. Како ово подручје има формулу, где представља дужину једне од његових страница, покушавајући да пронађете квадратни корен његове вредности, покушавате да израчунате дужину дотичног квадрата.

2. 

   Наведите променљиве за сваку децималу у свом одговору. Подесите променљиву на прво децимално место (израчунава се квадратни корен), на другу, на трећу и тако даље.

3. 

   Доделите абецедне променљиве сваком делу почетног броја. Повежите променљиву са првим паром децималних места у (почетна вредност), другим паром децималних места итд.

4. 

   Разумети везу ове методе са дугим поделом. Овај начин израчунавања квадратног корена у основи је проблем дуге дељења који дели почетни број квадратним кореном, давање његов квадратни корен као одговор. Као и код проблема са дугим дељењем, код којих је камата усмерена на једну децималу одједном, и овде би требало да се усредсредите на две одједном (што одговара следећем децималном месту квадратног корена).

5. 

   Пронађите највећи број чији је квадрат мањи или једнак. Прва децимална места у одговору представљају највећи цели број чији квадрат не прелази (дакле). У примеру, и, тако да.
   • У једном примеру, ако желите да делите методом дугог дељења, први корак би био сличан: требало би потражити прву цифру () и пронаћи највећи цели број који би, помножен са, резултирао нечим мањим од или једнак. У основи, ради се о проналажењу тог начина. У овом случају то би било једнако.

6. 

   Визуелизујте квадрат чију површину желите да израчунате. Одговор, који је квадратни корен почетног броја, представљаће, који описује дужину квадрата површине (почетни број). Вредности и представљају децималне места присутна у. Други начин стављања ове дефиниције је да се то наведе, у случају одговора са две децимале, у случају одговора са три децимале итд.
   • У примеру ,. Запамтите да представља одговор са у јединицама и у десетицама. Узимајући и као пример, резултираће бројем. Ако представља површину квадрата, представља површину највећег унутрашњег квадрата, представља површину најмањег унутрашњег квадрата и представља површину сваког од преосталих правоугаоника. Када изводите овај дугачки и компликовани поступак, при руци ће вам бити читава квадратна површина, само додајући површине израчунате из квадрата и правоугаоника изнутра.

7. 

   Одузми од. Испустите пар () децималних места. Израз представља готово читаву површину квадрата, од које је одузет највећи унутрашњи квадрат. Остатак, пак, може бити представљен оним добијеним у 4. корак (у горњем примеру). Овде, (површина оба правоугаоника плус површина најмањег квадрата).

8. 

   Потражите, такође написано као. У примеру већ знате () и () и сада је потребно израчунати вредност. То вероватно неће бити целобројна вредност, па морате стварно израчунати највећу целу могућност која задовољава услов. Коначно, остаће вам.

9. 

   Реши операцију. Да бисте наставили, помножите са, промените положај десетица (еквивалент множења вредности са), ставите га у положај јединица и резултат помножите са. Другим речима, само извршите операцију. То је исто као када пишете (налазите се) у доњем десном квадранту присутном у 4. корак. Већ у Корак 5заузврат ћете пронаћи највећу целобројну вредност која ће стати у празан простор који задовољава услов.

10. 

    Одузми површину од укупне површине. То резултира до тада занемареном површином (и која ће се користити за израчунавање наредних квадрата на сличан начин).

11. 

    Да бисте израчунали следећу децималу, једноставно поновите поступак. Померите се надоле до следећег пара () да бисте дошли лево и тражили највишу вредност која задовољава услов (еквивалентно писању двоструке вредности са две децимале у пратњи. У празнинама потражите највећу могућу децималну вредност то доноси резултат мањи или једнак као и раније.

Савети

• Ова метода ради са било којом базом - не само са (децималном) базом.
• У примеру, „одмор“ се може узети у обзир:
  
• Алтернативна метода која користи континуиране разломке следи ову формулу:
  
  У једном примеру, за израчунавање квадратног корена од, цео број чији квадрат се највише подудара са почетним бројем је, тако да је, нпр. Приликом уноса вредности у формулу и заокруживања процене, то већ доноси резултат (минималне вредности) или приближно (). Следећи термин би био или приближно (). Сваки додатни појам додаје скоро три децимална места прецизности у односу на претходни покушај.

Упозорења

• Не заборавите раздвојити децимална места у паровима од зареза. Одвајање како ће, на пример, донети бескорисне резултате.