Садржај

• Кораци
• Савети

Математичари и графички програмери често морају пронаћи угао између два вектора. Срећом, формула која се користи за израчунавање овог угла не захтева ништа више од једноставног скаларног производа. Иако је образложење иза ове формуле лакше разумети када се користе дводимензионални вектори, можемо га лако прилагодити векторима са било којим бројем компоненти.

Кораци

Део 1 од 2: Израчунајте угао између два вектора

1. 

   Идентификујте два вектора. Запишите све познате податке о два вектора. У сврху овог водича, претпоставит ћемо да векторе знате само у смислу њихових димензионалних координата (које се такође називају компоненте). Ако већ знате модул или стандардно ових вектора (то јест, њихове дужине), можете прескочити неке од корака у наставку.
   • Пример: размотрићемо дводимензионалне векторе = (2,2) и = (0,3). Ова два вектора се могу преписати као = 2ја + 2ј е = 0ја + 3ј = 3ј.
   • Иако се у нашем примеру користе дводимензионални вектори, следећа упутства можемо применити на векторе са било којим бројем компоненти.

2. 

   
   
   Напишите формулу косинуса. Да бисмо пронашли вредност угла θ између било која два вектора, прво морамо израчунати косинус тог угла. Можете детаљно потражити и сазнати формулу или је једноставно написати у наставку:
   • цосθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| представља модул (или дужина) вектора ".
   • • представља скаларни производ (или интерни производ) два вектора.

3. 

   
   
   Израчунајте модул сваког вектора. Замислите прави троугао формиран од компоненте Икс вектора, његове компоненте и и сам вектор. У овом троуглу вектор игра улогу хипотенузе; према томе, да бисмо пронашли његову дужину, применићемо питагорејску теорему. Као резултат, ова формула је лако применљива на векторе са било којим бројем компоненти.
   • || у || = у₁ + у₂. Ако вектор има више од две компоненте, наставите додавањем + у₃ + у₄ +...
   • Стога ћемо за дводимензионални вектор морати || у || = √ (у₁ + у₂).
   • У нашем примеру, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Израчунајте скаларни продукт између два вектора. Већ би требало да знате методу множења вектора, која се такође назива скаларни производ. Да бисмо израчунали скаларни продукт два вектора с обзиром на њихове компоненте, множимо компоненте у истом правцу једни са другима, а затим додајемо резултате тих производа.
   • Ако радите са рачунарским графичким програмима, прво посетите одељак „Савети“ пре него што наставите.
   • Математички гледано, • = у₁в₁ + у₂в₂, где је у = (у₁, у₂). Ако ваш вектор има више од две компоненте, наставите додавањем + у₃в₃ + у₄в₄...
   • У нашем примеру, • = у₁в₁ + у₂в₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Ово је вредност скаларног производа између вектора и.

5. 

   Замените ове резултате формулом косинуса. Запамтите, цосθ = (•) / (|||| || ||). Већ смо израчунали скаларни производ и модул два вектора. Сада заменимо ове вредности у формули и израчунајмо косинус косина.
   • У нашем примеру цосθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Пронађите угао на основу косинуса.
   Помоћу функције лука или цос рачунара за одређивање угла θ из вредности косинуса. У неким случајевима ћете можда моћи да пронађете вредност угла на основу јединице круга.
   • У нашем примеру цосθ = √2 / 2. Унесите "арццос (√2 / 2)" у калкулатор да бисте пронашли угао. Друга опција је да потражите угао θ јединичне кружнице где је цосθ = √2 / 2: ово ће тачно за θ = /₄ или 45 °.
   • Спајајући све информације заједно, имаћемо коначну формулу θ = арццосине ((•) / (|||| || ||))

Део 2 од 2: Дефинисање формуле за израчунавање угла

1. 

   Схватите сврху формуле. Формула коју смо користили за израчунавање угла између два вектора није изведена из већ постојећих правила; уместо тога, створен је као дефиниција скаларног производа између два вектора и угла између њих. Међутим, ова одлука није произвољна. Ако поближе погледамо основну геометрију, можемо видети зашто ова формула резултира тако корисним и интуитивним дефиницијама.
   • Следећи примери користе дводимензионалне векторе јер су најинтуитивнији тип за рад. Вектори са три или више димензија имају своја својства дефинисана из опште формуле (такође на врло сличан начин).

2. 

   Прегледајте закон косинуса. У било којем троуглу размотрите угао θ који су формиране стране Тхе и Б и стране ц насупрот том углу. Према косинуском закону, ц = а + б -2абпојас(θ). Демонстрација ове формуле може се лако добити из познавања основне геометрије.

3. 

   Спојите два вектора да бисте формирали троугао. Нацртајте пар вектора и, са углом θ између њих. Затим нацртајте трећи вектор између њих и формирајте троугао. Другим речима, нацртајте вектор такав да је + =, или једноставно = -.

4. 

   Примените закон косинуса на овај троугао. Замените дужину наших страна векторски троугао (то јест, векторски модул) у формули закона косинуса:
   • || (а - б) || = || а || + || б || - 2 || а || || б ||појас(θ)

5. 

   Препишите формулу користећи скаларне производе. Запамтите да је тачкасти производ увећање једног вектора пројицираног на другог. Сам скаларни продукт вектора не захтева пројекцију, јер нема промене правца. То значи да је = = || а || На основу ових података, поново ћемо написати једнаџбу закона косинуса:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || а || || б ||појас(θ)

6. 

   Поједноставите формулу. Проширите производе на левој страни једнаџбе, а затим их поједноставите док не дођете до формуле коју познајемо за израчунавање углова.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || а || || б ||појас(θ)
   • - • - • = -2 || а || || б ||појас(θ)
   • -2 (•) = -2 || а || || б ||појас(θ)
   • • = || а || || б ||појас(θ)

Савети

• За брзо разрешавање примените следећу формулу на било који дводимензионални векторски пар: цосθ = (у₁ В₁ + у₂ В₂) / (√ (у₁ • у₂) • √ (в₁ В₂)).
• Ако радите са рачунарским графичким програмима, вероватно ћете морати да знате само правац вектора, а не њихову дужину. Следите доле наведене кораке како бисте поједноставили једначине и убрзали свој програм:
  • Нормализирајте сваки вектор, односно пронађите јединични вектор који има исти правац као изворни вектор. Да бисте то учинили, сваку компоненту вектора поделите са векторским модулом.
  • Израчунајте скаларни продукт нормализованих вектора, а не оригиналних вектора.
  • Пошто је модул (тј. Дужина) нормализованих вектора јединствен, можемо их изоставити из формуле. Ваша коначна једначина за израчунавање углова биће лукови (•).
• На основу формуле закона косинуса, можемо брзо да откријемо да ли је угао акутан или нејасан. Почните с цосθ = (•) / (|||| ||||):
  • Лева и десна страна једначине морају имати исти знак (позитиван или негативан).
  • Како су дужине увек позитивне, цосθ ће увек имати исти знак као скаларни производ.
  • Стога, ако је скаларни производ позитиван, цосθ ће бити позитиван. То значи да је угао у првом квадранту јединице круга, то јест, θ <π / 2 или 90 °. Стога је угао акутан.
  • Ако је скаларни производ негативан, цосθ је негативан. То значи да је угао другог квадранта јединице круга, односно π / 2 <θ ≤ π или 90 ° <θ ≤ 180 °. Стога је угао нејасан.